Methodes de log-linearisation pour les modeles macroeconomiques

La macroéconomie s’est orientée depuis les années 80 vers les modèles DSGE où les agents microéconomiques sont confrontés à des chocs exogènes, et leurs réponses agrégées à ces chocs définissent les variations de tous les agrégats macroéconomiques. Le problème auquel se confronte les économistes, dès lors qu’ils modélisent une économie dans le temps, est de pouvoir borner leur modèle. Il est en effet difficile de pouvoir modéliser une économie convergente dont ses dynamiques ne tendent pas vers l’infini. La solution a été d’exprimer les modèles en termes de déviations logarithmiques autour d’un état stationnaire. Cela se concrétise sur les équations d’un modèle par des approximations de Taylor d’ordre 1 avec un log. La notation pour cet article sera la suivante. Soit une variable $X_t$ , sa version en log $x_t=\log(X_t)$ et sa valeur stationnaire $X=X_t=X_{t+1}$ .

Log-linearisation d’une variable

$X_{t}=X \frac{X_{t}}{X}=Xe^{log(X_{t}/X)}=Xe^{x_{t}}$

Ce qui, par une approximation de Taylor d’ordre 1, donne, $X(1+x_{t})$ Donc si on résume,

$X_t \simeq X(1+x_{t})$

Log-linearisation de plusieurs variables

Le produit de variables

Pour deux variables multipliées entre elles,

$X_{t}Y_{t} \simeq XY(1+x_{t}+y_{t})$

D’une façon plus générale, les relations parfaitement multiplicatives se sont pas approximées, il suffit d’appliquer simplement le log pour trouver la version en termes de log-déviations.

La division de variables

Pour deux variables divisées entre elles,

$\frac{X_{t}}{Y_{t}} \simeq \frac{X}{Y}(1+x_{t}-y_{t})$

Cas non linéaire

Il existe certains cas plus particuliers dont la présence de non linéarités rend la log-linéarisation plus difficile. Si on considère le cas de l’inverse d’une somme de deux variables,

$\frac{1}{1-X_{t}+Y_{t}} \simeq \frac{1}{1-X+Y}(1+Xx_{t}-Yy_{t})$

Log-linearisation avec des puissances

Une fois le log appliqué, les puissances deviennent facteur, tandis que l’état stationnaire reste inchangé,

$X_{t}^{\omega} \simeq X^{\omega}(1+\omega x_{t})$

Log-linéarisation de taux

Certaines variables de taux sont, selon les modèles, exprimés soit directement comme un coefficient $R_t$ , soit comme un taux $i_t$ tel que

$R_t=1+I_t$

Cependant, dès que l’on log-linéarise, les approches diffèrent selon que l’on ait un taux $R_t$ d’un coefficient $1+I_t$ . On applique pour $I_t$ ,

$1+I_t \simeq (1+I)(1+\frac{I}{1+I}i_t)$

Tandis que pour $R_t$ on fait simplement,

$R_t \simeq R(1+r_t)$

Log-linearisation de fonction

Une fonction à un paramètre

$f(X) \simeq f(X)\left( 1+f′(X) \frac{X}{f(X)} x_{t} \right)$

avec $f′(X)$ la dérivée en $X$ .

Une fonction à deux paramètres

$f(X_{t},Y_{t}) \simeq f(X,Y)\left( 1+ \frac{f_{x}′(X,Y)}{f(X,Y)}Xx_{t}+\frac{f_{y}′(X,Y)}{f(X,Y)}Yy_{t}\right)$

avec $f_{x}′(X)$ la dérivée en $X$ et $f_{y}′(Y)$ la dérivée en $Y$ .

Des exemples complexes

Quelques exemples pour bien comprendre les techniques de log-linéarisation en termes d’écart par rapport à l’état stationnaire. Cela implique également d’ôter les constantes.

Croissance de la masse monétaire

La relation de la masse monétaire prend la forme,

$M_{t+1} &=&\frac{M_{t}}{\mu \pi _{t+1}}\left( 1+G_{t}\right)$$

Soit $G_t$ le taux de croissance de la masse monétaire, la relation étant multiplicative, les états stationnaires vont s’ôter facilement. Pour cette relation, on trouve,

$\begin{eqnarray*} &\Rightarrow &M\left( 1+m_{t+1}\right) =\frac{M}{\mu \pi }\left( 1+G\right) \left( 1+m_{t}-\log (\pi _{t+1})+\frac{G}{1+G}g_{t}\right) \\ &\Rightarrow &m_{t+1}=m_{t}-\log (\pi _{t+1})+\frac{G}{1+G}g_{t} \end{eqnarray*}$

Dans ce dernier développement, nous avons ôté les constantes.