[latexpage]The purpose of this post is to explain the different ways of solving intertemporal optimization problems. We consider the example of the model of Hansen that belongs to the class of real business cycle models (RBC). A brief explanation of the model’s structure is necessary before attacking directly the maximization problem under constraints.
The objective function of a representative household is to maximize the sum of the expected utility,
\begin{equation}\label{eq:MaxUtility}
\max \sum\nolimits_{0}^{\infty }\beta ^{t}u\left( c_{t},l_{t}\right)
\end{equation}
where $c_{t}$ is the consumption, $l_{t}$ the leisure, so $l_{t}=1-h_{t}$ with $h_{t}$ the hours worked. The agent divides his time (normalized to 1) between work and leisure. Empirically, we set the working time to eight hours per week, or 1 / 3 of a day. Moreover, $\beta ^{t}$ is the discount factor so that expected utlity in $t+2$ is lower than in $t+1$.
The functional form of the utility function is thus given by,
\[
u(c_{t},1-h_{t})=\ln c_{t}+A\ln (1-h_{t})
\] with $A>0$ a rescale parameter.
Moreover, the production function is Cobb-Douglas technology with stochastic form,
\begin{equation}\label{eq:Contrainte1}
f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) =\lambda _{t}\left( k_{t}\right)
^{\theta }\left( h_{t}\right) ^{1-\theta }
\end{equation}
where $\lambda _{t}$ is the stochastic variable of technology following the autoregressive random process :
\[
\lambda _{t+1}=\gamma \lambda _{t}+\varepsilon _{t+1}
\] for $0<\gamma <1$ to make process stable. Capital accumulation is also a constraint for the household, it is: \begin{equation}\label{eq:Contrainte2} k_{t+1}=\left( 1-\delta \right) k_{t}+i_{t} \end{equation} And the feasibility constraint is such that the application can not exceed supply: \begin{equation}\label{eq:Contrainte3} f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) \geq c_{t}+i_{t} \end{equation} In fact, the impossibility of stock equivalent to writing $f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) =c_{t}+i_{t}$. The point of indifference between factors of production involves a payment to the marginal productivity of factors. For capital, its performance is: \begin{eqnarray} r_{t} &=&\frac{\partial f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) }{\partial k_{t}} \\ &=&\theta \lambda _{t}\left( \frac{k_{t}}{h_{t}}\right) ^{\theta -1} \end{eqnarray} and wage, \begin{eqnarray} w_{t} &=&\frac{\partial f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) }{\partial h_{t}} \\ &=&\left( 1-\theta \right) \lambda _{t}\left( \frac{k_{t}}{h_{t}}\right) ^{\theta } \end{eqnarray} Factors of production are bound by, \[ \theta w_{t}h_{t}=\left( 1-\theta \right) k_{t}r_{t} \] $r_{t}$ et $w_{t}$ used to simplify the first-order conditions. The household can now maximize its utility (\ref{eq:MaxUtility}) under three constraints (\ref{eq:Contrainte1}), (\ref{eq:Contrainte2}) and (\ref{eq:Contrainte3}), \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} \max_{k_{t+1},h_{t}}\sum\nolimits_{0}^{\infty }\beta ^{t}\left( \ln c_{t}+A\ln \left( 1-h_{t}\right) \right) \\ sc:f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) =\lambda _{t}\left( k_{t}\right) ^{\theta }\left( h_{t}\right) ^{1-\theta } \\ sc:k_{t+1}=\left( 1-\delta \right) k_{t}+i_{t} \\ sc:f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) \geq c_{t}+i_{t}% \end{array}% \right. \end{equation*} The household optimizes his quantity of work $h_ {t}$ and capital $k_ {t+1}$ in order to get the maximum utility. However, the capital needs one period to take effect, for this reason why optimization deals with $k_ {t +1}$ instead of $k_ {t}$. Once maximized and the constraints satisfied, we obtain the first-order conditions, \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} \beta E_{t}\left\{ \frac{r_{t+1}+\left( 1-\delta \right) }{c_{t+1}}\right\} =% \frac{1}{c_{t}} \\ w_{t}\left( 1-h_{t}\right) =Ac_{t}% \end{array}% \right. \end{equation*} These two equations are used to define the optimal path that will maximize the household utility. Economists commonly use three mathematic tools to obtain these two previous equations,

• Partial derivatives,
• Dynamic Lagrangian,
• Value function.

 [latexpage]Le but de ce poste est d’expliquer les différents moyens de résoudre des problèmes d’optimisation intertemporelle afin d’effectuer des IRFs du modèle. Nous prenons ici l’exemple du célèbre modèle d’Hansen appartement à la classe des modèles de cycles réels (RBC ou real business cycles). Une brève explication est nécessaire avant d’attaquer directement la maximisation sous contraintes.

1. Le modèle

a) Le ménage

Soit l’agent qui maximise l’utilité :
\begin{equation}\label{eq:MaxUtility}
\max \sum\nolimits_{0}^{\infty }\beta ^{t}u\left( c_{t},l_{t}\right)
\end{equation}
avec $c_{t}$ la consommation et $l_{t}$ le loisir, donc $l_{t}=1-h_{t}$ avec $h_{t}$ le travail. L’agent divise son temps total simplifié à l’unité, entre le travail et le loisir. Empiriquement, on fixe le temps de travail à 8 heures hebdomadaires, soit 1/3 d’une journée.
La fonction d’utilité spécifique utilisée est :
\[
u(c_{t},1-h_{t})=\ln c_{t}+A\ln (1-h_{t})
\] avec $A>0$, elle a été linéarisée par le log.
Par ailleurs, la fonction de production est de type Cobb-Douglas avec une technologie stochastique de la forme,
\begin{equation}\label{eq:Contrainte1}
f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) =\lambda _{t}\left( k_{t}\right)
^{\theta }\left( h_{t}\right) ^{1-\theta }
\end{equation}
avec $\lambda _{t}$ est la variable stochastique de technologie qui suit le processus aléatoire autorégressif :
\[
\lambda _{t+1}=\gamma \lambda _{t}+\varepsilon _{t+1}
\] pour $0<\gamma <1$ afin de permettre une stabilité du processus.
L’accumulation du capital représente également une contrainte pour le ménage, elle est :
\begin{equation}\label{eq:Contrainte2}
k_{t+1}=\left( 1-\delta \right) k_{t}+i_{t}
\end{equation}
Et la contrainte de faisabilité est telle que la demande ne peut excéder l’offre :
\begin{equation}\label{eq:Contrainte3}
f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) \geq c_{t}+i_{t}
\end{equation}
En réalité, l’impossibilité de faire des stocks revient à écrire $f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) =c_{t}+i_{t}$.

b) La firme

Le point d’indifférence entre les facteurs de production implique une rémunération à la productivité des facteurs de production. Pour le capital, son rendement est :
\begin{eqnarray}
r_{t} &=&\frac{\partial f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) }{\partial
k_{t}} \\
&=&\theta \lambda _{t}\left( \frac{k_{t}}{h_{t}}\right) ^{\theta -1}
\end{eqnarray}
et le salaire,
\begin{eqnarray}
w_{t} &=&\frac{\partial f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) }{\partial
h_{t}} \\
&=&\left( 1-\theta \right) \lambda _{t}\left( \frac{k_{t}}{h_{t}}\right)
^{\theta }
\end{eqnarray}
Les facteurs de productions sont liés par,
\[
\theta w_{t}h_{t}=\left( 1-\theta \right) k_{t}r_{t}
\] $r_{t}$ et $w_{t}$ serviront à simplifier les conditions du premier ordre.

2. Maximisation sous contrainte

Le ménage peut désormais maximiser son utilité  (\ref{eq:MaxUtility}) sous trois contraintes (\ref{eq:Contrainte1}), (\ref{eq:Contrainte2}) et (\ref{eq:Contrainte3}),
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\max_{k_{t+1},h_{t}}\sum\nolimits_{0}^{\infty }\beta ^{t}\left( \ln
c_{t}+A\ln \left( 1-h_{t}\right) \right) \\
sc:f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) =\lambda _{t}\left( k_{t}\right)
^{\theta }\left( h_{t}\right) ^{1-\theta } \\
sc:k_{t+1}=\left( 1-\delta \right) k_{t}+i_{t} \\
sc:f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) \geq c_{t}+i_{t}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

Le ménage peut jouer sur ses quantités de travail $h_{t}$ et de capital $k_{t+1}$ pour avoir une utilité maximale. Cependant, il faut une période pour que le capital prenne effet, c’est pour cette raison que l’optimisation porte sur $k_{t+1}$ au lieu de $k_{t}$. Une fois maximisé et les contraintes satisfaites, on obtient les conditions du premier ordre,
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\beta E_{t}\left\{ \frac{r_{t+1}+\left( 1-\delta \right) }{c_{t+1}}\right\} =%
\frac{1}{c_{t}} \\
w_{t}\left( 1-h_{t}\right) =Ac_{t}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
Ces deux équations permettent de définir le sentier optimal que suivra le ménage afin de maximiser l’utilité. Les économistes utilisent communément trois outils afin d’obtenir ces deux équations,

• Dérivées partielles,
• Lagrangien dynamique,
• Fonction valeur.