[latexpage]Une méthode de résolution de programmes de maximisation sous contrainte peut également s’effectue par l’approche de programmation de dynamique de Bellman. Cette méthode a été développée pour le contrôle optimal afin d’évaluer des politiques publiques, ou encore pour résoudre certains problèmes en backward ou forward induction en temps fini. Le modèle peut donc être écrit sous la forme d’une équation de Bellman de la forme :
\[
V\left( k_{t},\lambda _{t}\right) =\max_{c_{t},h_{t}}\left[ \ln c_{t}+A\ln
\left( 1-h_{t}\right) +\beta E_{t}\left\{ V\left( k_{t+1},\lambda
_{t+1}\right) |\lambda _{t}\right\} \right] \] Sous les contraintes des trois équations citées précédemment. On remarque que la fonction Bellman contient également $\beta E_{t}\left\{ V\left( k_{t+1},\lambda _{t+1}\right) |\lambda _{t}\right\} $ ce qui signifie que les anticipations sont conditionnelles à la réalisation de $\lambda _{t+1}$, ceci vient du caractère stochastique de $\lambda _{t}$. Par substitution, l’équation de Bellman devient :
\[
\quicklatex{size=12}
V\left( k_{t},\lambda _{t}\right) =\max_{k_{t+1},h_{t}}\left[ \ln \left(
\lambda _{t} k_{t} ^{\theta } h_{t} ^{1-\theta
}-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right) k_{t}\right) +A\ln \left( 1-h_{t}\right)
+\beta E_{t}\left\{ V\left( k_{t+1},\lambda _{t+1}\right) |\lambda
_{t}\right\} \right] \] avec $k_{t+1}$ et $h_{t}$ les variables de contrôle. Les conditions du premier ordre sont :
\begin{eqnarray*}
\quicklatex{size=14}
CPO &:&\frac{\partial V\left(
k_{t},\lambda _{t}\right) }{\partial k_{t+1}}=0 \\
&\Leftrightarrow &\frac{-1}{\lambda _{t}\left( k_{t}\right) ^{\theta }\left(
h_{t}\right) ^{1-\theta }-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right) k_{t}}+\beta
E_{t}\left\{ V_{k}\left( k_{t+1},\lambda _{t+1}\right) |\lambda _{t}\right\}
=0
\end{eqnarray*}
et
\begin{eqnarray*}
\quicklatex{size=12}
CPO &:&\frac{\partial V\left(
k_{t},\lambda _{t}\right) }{\partial h_{t}}=0 \\
&\Leftrightarrow &\frac{\left( 1-\theta \right) \lambda _{t}\left( \frac{
k_{t}}{h_{t}}\right) ^{\theta }}{\lambda _{t}\left( k_{t}\right) ^{\theta
}h_{t}^{1-\theta }-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right) k_{t}}-A\frac{1}{1-h_{t}}
=0 \\
&\Leftrightarrow &\frac{1}{\lambda _{t} k_{t} ^{\theta }
h_{t} ^{1-\theta }-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right) k_{t}}=\beta
E_{t}\left\{ \frac{\left( \theta \lambda _{t+1} k_{t+1}
^{\theta -1} h_{t+1} ^{1-\theta }+\left( 1-\delta \right)
\right) }{\lambda _{t+1} k_{t+1} ^{\theta }
h_{t+1} _{t}^{1-\theta }-k_{t+2}+\left( 1-\delta \right) k_{t+1}}
|\lambda _{t}\right\}
\end{eqnarray*}
L’application du théorème de l’enveloppe de Benviste-Scheinkman donne :
\[
\frac{\partial V\left( k_{t},\lambda _{t}\right) }{\partial k_{t}}=\frac{%
\theta \lambda _{t}\left( k_{t}\right) ^{\theta -1}\left( h_{t}\right)
^{1-\theta }+\left( 1-\delta \right) }{\lambda _{t}\left( k_{t}\right)
^{\theta }\left( h_{t}\right) ^{1-\theta }-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right)
k_{t}}
\] Ceci permet d’écrire la condition du premier ordre de la façon suivante,
\begin{eqnarray*}
\quicklatex{size=13}
k_{t+1} &:&\frac{-1}{\lambda _{t}k_{t}^{\theta
}h_{t}^{1-\theta }-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right) k_{t}}+\beta E_{t}\left\{
V_{k}\left( k_{t+1},\lambda _{t+1}\right) |\lambda _{t}\right\} =0 \\
&\Leftrightarrow &\frac{-1}{\lambda _{t}k_{t}^{\theta }h_{t}^{1-\theta
}-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right) k_{t}}+\beta \frac{\theta \lambda
_{t+1}k_{t+1}^{\theta -1}h_{t+1}^{1-\theta }+\left( 1-\delta \right) }{%
\lambda _{t+1}k_{t+1}^{\theta }h_{t+1t}^{1-\theta }-k_{t+2}+\left( 1-\delta
\right) k_{t+1}}=0 \\
&\Leftrightarrow &\beta \frac{\left( 1-\theta \right) \lambda
_{t+1}k_{t+1}^{\theta -1}h_{t+1}^{1-\theta }+\left( 1-\delta \right) }{%
\lambda _{t+1}k_{t+1}^{\theta }h_{t+1t}^{1-\theta }-k_{t+2}+\left( 1-\delta
\right) k_{t+1}}=\frac{1}{\lambda _{t}k_{t}^{\theta }h_{t}^{1-\theta
}-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right) k_{t}} \\
&\Leftrightarrow &\left( 1-\theta \right) \lambda _{t}\left( \frac{k_{t}}{%
h_{t}}\right) ^{\theta }\left( 1-h_{t}\right) =A\left( \lambda
_{t}k_{t}^{\theta }h_{t}^{1-\theta }-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right)
k_{t}\right)
\end{eqnarray*}
Les conditions du premier ordre sont donc :
\[
\left\{
\begin{array}{c}
\frac{c_{t+1}}{\beta c_{t}}r_{t}+\left( 1-\delta \right) \\
Ac_{t}=\left( 1-h_{t}\right) w_{t}%
\end{array}%
\right.
\]