[latexpage]Le but de ce poste est d’expliquer les différents moyens de résoudre des problèmes d’optimisation intertemporelle afin d’effectuer des IRFs du modèle. Nous prenons ici l’exemple du célèbre modèle d’Hansen appartement à la classe des modèles de cycles réels (RBC ou real business cycles). Une brève explication est nécessaire avant d’attaquer directement la maximisation sous contraintes.

1. Le modèle

a) Le ménage

Soit l’agent qui maximise l’utilité :
\begin{equation}\label{eq:MaxUtility}
\max \sum\nolimits_{0}^{\infty }\beta ^{t}u\left( c_{t},l_{t}\right)
\end{equation}
avec $c_{t}$ la consommation et $l_{t}$ le loisir, donc $l_{t}=1-h_{t}$ avec $h_{t}$ le travail. L’agent divise son temps total simplifié à l’unité, entre le travail et le loisir. Empiriquement, on fixe le temps de travail à 8 heures hebdomadaires, soit 1/3 d’une journée.
La fonction d’utilité spécifique utilisée est :
\[
u(c_{t},1-h_{t})=\ln c_{t}+A\ln (1-h_{t})
\] avec $A>0$, elle a été linéarisée par le log.
Par ailleurs, la fonction de production est de type Cobb-Douglas avec une technologie stochastique de la forme,
\begin{equation}\label{eq:Contrainte1}
f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) =\lambda _{t}\left( k_{t}\right)
^{\theta }\left( h_{t}\right) ^{1-\theta }
\end{equation}
avec $\lambda _{t}$ est la variable stochastique de technologie qui suit le processus aléatoire autorégressif :
\[
\lambda _{t+1}=\gamma \lambda _{t}+\varepsilon _{t+1}
\] pour $0<\gamma <1$ afin de permettre une stabilité du processus.
L’accumulation du capital représente également une contrainte pour le ménage, elle est :
\begin{equation}\label{eq:Contrainte2}
k_{t+1}=\left( 1-\delta \right) k_{t}+i_{t}
\end{equation}
Et la contrainte de faisabilité est telle que la demande ne peut excéder l’offre :
\begin{equation}\label{eq:Contrainte3}
f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) \geq c_{t}+i_{t}
\end{equation}
En réalité, l’impossibilité de faire des stocks revient à écrire $f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) =c_{t}+i_{t}$.

b) La firme

Le point d’indifférence entre les facteurs de production implique une rémunération à la productivité des facteurs de production. Pour le capital, son rendement est :
\begin{eqnarray}
r_{t} &=&\frac{\partial f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) }{\partial
k_{t}} \\
&=&\theta \lambda _{t}\left( \frac{k_{t}}{h_{t}}\right) ^{\theta -1}
\end{eqnarray}
et le salaire,
\begin{eqnarray}
w_{t} &=&\frac{\partial f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) }{\partial
h_{t}} \\
&=&\left( 1-\theta \right) \lambda _{t}\left( \frac{k_{t}}{h_{t}}\right)
^{\theta }
\end{eqnarray}
Les facteurs de productions sont liés par,
\[
\theta w_{t}h_{t}=\left( 1-\theta \right) k_{t}r_{t}
\] $r_{t}$ et $w_{t}$ serviront à simplifier les conditions du premier ordre.

2. Maximisation sous contrainte

Le ménage peut désormais maximiser son utilité  (\ref{eq:MaxUtility}) sous trois contraintes (\ref{eq:Contrainte1}), (\ref{eq:Contrainte2}) et (\ref{eq:Contrainte3}),
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\max_{k_{t+1},h_{t}}\sum\nolimits_{0}^{\infty }\beta ^{t}\left( \ln
c_{t}+A\ln \left( 1-h_{t}\right) \right) \\
sc:f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) =\lambda _{t}\left( k_{t}\right)
^{\theta }\left( h_{t}\right) ^{1-\theta } \\
sc:k_{t+1}=\left( 1-\delta \right) k_{t}+i_{t} \\
sc:f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) \geq c_{t}+i_{t}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

Le ménage peut jouer sur ses quantités de travail $h_{t}$ et de capital $k_{t+1}$ pour avoir une utilité maximale. Cependant, il faut une période pour que le capital prenne effet, c’est pour cette raison que l’optimisation porte sur $k_{t+1}$ au lieu de $k_{t}$. Une fois maximisé et les contraintes satisfaites, on obtient les conditions du premier ordre,
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\beta E_{t}\left\{ \frac{r_{t+1}+\left( 1-\delta \right) }{c_{t+1}}\right\} =%
\frac{1}{c_{t}} \\
w_{t}\left( 1-h_{t}\right) =Ac_{t}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
Ces deux équations permettent de définir le sentier optimal que suivra le ménage afin de maximiser l’utilité. Les économistes utilisent communément trois outils afin d’obtenir ces deux équations,