1. Le modèle
a) Le ménage
Soit l’agent qui maximise l’utilité :
\begin{equation}\label{eq:MaxUtility}
\max \sum\nolimits_{0}^{\infty }\beta ^{t}u\left( c_{t},l_{t}\right)
\end{equation}
avec $c_{t}$ la consommation et $l_{t}$ le loisir, donc $l_{t}=1-h_{t}$ avec $h_{t}$ le travail. L’agent divise son temps total simplifié à l’unité, entre le travail et le loisir. Empiriquement, on fixe le temps de travail à 8 heures hebdomadaires, soit 1/3 d’une journée.
La fonction d’utilité spécifique utilisée est :
\[
u(c_{t},1-h_{t})=\ln c_{t}+A\ln (1-h_{t})
\]
avec $A>0$, elle a été linéarisée par le log.
Par ailleurs, la fonction de production est de type Cobb-Douglas avec une technologie stochastique de la forme,
\begin{equation}\label{eq:Contrainte1}
f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) =\lambda _{t}\left( k_{t}\right)
^{\theta }\left( h_{t}\right) ^{1-\theta }
\end{equation}
avec $\lambda _{t}$ est la variable stochastique de technologie qui suit le processus aléatoire autorégressif :
\[
\lambda _{t+1}=\gamma \lambda _{t}+\varepsilon _{t+1}
\]
pour $0<\gamma <1$ afin de permettre une stabilité du processus.
L’accumulation du capital représente également une contrainte pour le ménage, elle est :
\begin{equation}\label{eq:Contrainte2}
k_{t+1}=\left( 1-\delta \right) k_{t}+i_{t}
\end{equation}
Et la contrainte de faisabilité est telle que la demande ne peut excéder l’offre :
\begin{equation}\label{eq:Contrainte3}
f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) \geq c_{t}+i_{t}
\end{equation}
En réalité, l’impossibilité de faire des stocks revient à écrire $f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) =c_{t}+i_{t}$.
b) La firme
Le point d’indifférence entre les facteurs de production implique une rémunération à la productivité des facteurs de production. Pour le capital, son rendement est :
\begin{eqnarray}
r_{t} &=&\frac{\partial f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) }{\partial
k_{t}} \\
&=&\theta \lambda _{t}\left( \frac{k_{t}}{h_{t}}\right) ^{\theta -1}
\end{eqnarray}
et le salaire,
\begin{eqnarray}
w_{t} &=&\frac{\partial f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) }{\partial
h_{t}} \\
&=&\left( 1-\theta \right) \lambda _{t}\left( \frac{k_{t}}{h_{t}}\right)
^{\theta }
\end{eqnarray}
Les facteurs de productions sont liés par,
\[
\theta w_{t}h_{t}=\left( 1-\theta \right) k_{t}r_{t}
\]
$r_{t}$ et $w_{t}$ serviront à simplifier les conditions du premier ordre.
2. Maximisation sous contrainte
Le ménage peut désormais maximiser son utilité (\ref{eq:MaxUtility}) sous trois contraintes (\ref{eq:Contrainte1}), (\ref{eq:Contrainte2}) et (\ref{eq:Contrainte3}),
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\max_{k_{t+1},h_{t}}\sum\nolimits_{0}^{\infty }\beta ^{t}\left( \ln
c_{t}+A\ln \left( 1-h_{t}\right) \right) \\
sc:f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) =\lambda _{t}\left( k_{t}\right)
^{\theta }\left( h_{t}\right) ^{1-\theta } \\
sc:k_{t+1}=\left( 1-\delta \right) k_{t}+i_{t} \\
sc:f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) \geq c_{t}+i_{t}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
Le ménage peut jouer sur ses quantités de travail $h_{t}$ et de capital $k_{t+1}$ pour avoir une utilité maximale. Cependant, il faut une période pour que le capital prenne effet, c’est pour cette raison que l’optimisation porte sur $k_{t+1}$ au lieu de $k_{t}$. Une fois maximisé et les contraintes satisfaites, on obtient les conditions du premier ordre,
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\beta E_{t}\left\{ \frac{r_{t+1}+\left( 1-\delta \right) }{c_{t+1}}\right\} =%
\frac{1}{c_{t}} \\
w_{t}\left( 1-h_{t}\right) =Ac_{t}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
Ces deux équations permettent de définir le sentier optimal que suivra le ménage afin de maximiser l’utilité. Les économistes utilisent communément trois outils afin d’obtenir ces deux équations,