Optimisation Dynamique par Dérivées Partielles

Une autre possibilité pour résoudre les modèles DSGE est d’utiliser les dérivées partielles, comme en microéconomie. Le programme de maximisation du ménage,

    \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} \max_{k_{t+1},h_{t}}\sum\nolimits_{0}^{\infty }\beta ^{t}\left( \ln c_{t}+A\ln \left( 1-h_{t}\right) \right) \\ sc:f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) =\lambda _{t}\left( k_{t}\right) ^{\theta }\left( h_{t}\right) ^{1-\theta } \\ sc:k_{t+1}=\left( 1-\delta \right) k_{t}+i_{t} \\ sc:f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) \geq c_{t}+i_{t}% \end{array}% \right. \end{equation*}

Le principe consiste à prendre la fonction objectif (l’utilité), et d’injecter toutes les contraintes des agents avant de maximiser. En remplaçant c_{t},

    \begin{eqnarray*} \omega &=&\sum\beta ^{t}\left( \ln c_{t}+A\ln \left( 1-h_{t}\right) \right) \\ &=&\sum\beta ^{t}\left( \ln \left( f\left( \lambda _{t},k_{t},h_{t}\right) -i_{t}\right) +A\ln \left( 1-h_{t}\right) \right) \\ &=&\sum\beta ^{t}\left( \ln \left( \lambda _{t} k_{t} ^{\theta }h_{t} ^{1-\theta }-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right) k_{t}\right) +A\ln \left( 1-h_{t}\right) \right) \end{eqnarray*}

Une fois l’expression du bien-être \omega obtenue en ayant injecté toutes les contraintes, on peut commencer à dériver. On dérivée \omega  en k_{t+1} et h_{t}, ainsi le ménage va choisir la quantité de capital et de travail qu’il souhaite offrir. Pour le capital,

    \begin{eqnarray*} FOC &:&\frac{\partial \omega }{\partial k_{t+1}}=0 \\ &\Leftrightarrow &\frac{-\beta ^{t+1}}{\lambda _{t}k_{t}^{\theta }h_{t}^{1-\theta }-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right) k_{t}}+E_{t}\left\{ \frac{\beta ^{t+2}\left( \theta \lambda _{t+1}k_{t+1}^{\theta -1}h_{t+1}^{1-\theta }+\left( 1-\delta \right) \right) }{\lambda _{t+1}k_{t+1}^{\theta }h_{t+1}^{1-\theta }-k_{t+2}+\left( 1-\delta \right) k_{t+1}}\right\} =0 \\ &\Leftrightarrow &\beta E_{t}\left\{ \frac{\theta \lambda _{t+1}k_{t+1}^{\theta -1}h_{t+1}^{1-\theta }+\left( 1-\delta \right) }{% \lambda _{t+1}k_{t+1}^{\theta }h_{t+1}^{1-\theta }-k_{t+2}+\left( 1-\delta \right) k_{t+1}}\right\} =\frac{1}{\lambda _{t}k_{t}^{\theta }h_{t}^{1-\theta }-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right) k_{t}} \\ &\Leftrightarrow &\beta E_{t}\left\{ \frac{r_{t+1}+\left( 1-\delta \right) }{% c_{t+1}}\right\} =\frac{1}{c_{t}} \end{eqnarray*}

et pour h_{t},

    \begin{eqnarray*} FOC &:&\frac{\partial \omega }{\partial h_{t}}=0 \\ &\Leftrightarrow &\beta ^{t}\left( \frac{\left( 1-\theta \right) \lambda _{t}k_{t}^{\theta }h_{t}^{-\theta }}{\lambda _{t}k_{t}^{\theta }h_{t}^{1-\theta }-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right) k_{t}}+\frac{-A}{1-h_{t}}% \right) =0 \\ &\Leftrightarrow &\left( 1-\theta \right) \lambda _{t}\left( \frac{k_{t}}{% h_{t}}\right) ^{\theta }\left( 1-h_{t}\right) =A\left( \lambda _{t}k_{t}^{\theta }h_{t}^{1-\theta }-k_{t+1}+\left( 1-\delta \right) k_{t}\right) \\ &\Leftrightarrow &w_{t}\left( 1-h_{t}\right) =Ac_{t} \end{eqnarray*}

Nous retrouvons bien nos conditions du premier ordre,

    \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} \beta E_{t}\left\{ \frac{r_{t+1}+\left( 1-\delta \right) }{c_{t+1}}\right\} =% \frac{1}{c_{t}} \\ w_{t}\left( 1-h_{t}\right) =Ac_{t}% \end{array}% \right. \end{equation*}